Tính giới hạn bằng Casio fx-580VN X

Trong bài viết này mình sẽ hướng dẫn các bạn tính giới hạn bằng máy tính Casio fx-580VN X. Nếu bạn chưa có máy này thì bạn có thể mua hoặc giả lập nó trên máy vi tính hoặc sử dụng các máy tương đương.

Như bạn đã biết giới hạn là nền tảng của Giải tích và nó được giới thiệu lần đầu tiên ở chương 4 của lớp 11 theo chương trình giáo dục Phổ thông hiện tại.

Bạn còn nhớ Achilles và con rùa không nhỉ?

Bạn nào đang học hoặc đã học thì dễ dàng nhận thấy là giới hạn có khá nhiều dạng khác nhau

  • Giới hạn của dãy số
  • Giới hạn của hàm số đến một số
  • Giới hạn một bên
  • Giới hạn đến vô cùng

Nào chúng ta hãy cùng bắt đầu.

1 Giới hạn của dãy số

Trong một bài toán tìm giới hạn của một dãy số nếu không nói gì thêm thì ta phải tự hiểu là giới hạn đó tiến đến vô cùng lớn.

Ý tưởng của thủ thuật này là sẽ gán một giá trị “vô cùng lớn” vào dãy số để thu được “kết quả ban đầu”

Kết quả ban đầu (kết quả gần đúng). Dựa vào kết quả ban đầu này chúng ta sẽ suy ra kết quả của bài toán. Phương pháp này đặc biệt hữu hiệu đối với dạng bài tập trắc nghiệm.

1.1 Quy trình bấm máy

Bước 1 nhập dãy số u_n vào máy tính. Do máy tính không có biến nhớ n nên ta thường nhập là x

Bước 2 gán giá trị cho biến là 10^9 thông qua phím CALC

Bước 3 bấm phím = thu được kết quả ban đầu. Tùy thuộc vào dạng của kết quả ban đầu mà chúng ta sẽ suy ra kết quả của bài toán

Nếu là một số gần bằng 0 tức có dạng a \times 10^{-n} (a là số thực và n là số tự nhiên khác 0) chẳng hạn 1.23987654 \times 10^{-12}, 2.987654123 \times 10^{-9} thì kết quả của bài toán là 0

Nếu có dạng gần bằng một số thập phân hữu hạn hoặc thập phân vô hạn tuần hoàn thì kết quả của bài toán sẽ là kết quả sau khi làm tròn

Nhìn vào kết quả ban đầu bạn cần chú ý phân biệt đâu là số thập phân hữu hạn đâu là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Nếu nhầm lẫn thì kết quả của bạn sẽ bị sai đấy

Nếu là một số rất lớn tức có dạng a \times 10^n (a là số thực dương và n là số tự nhiên khác 0) chẳng hạn 1.23987654 \times 10^{12}, 2.987654123 \times 10^{9} thì kết quả của bài toán là +\infty

Nếu là một số rất bé tức có dạng -a \times 10^n (a là số thực dương và n là số tự nhiên khác 0) chẳng hạn -1.23987654 \times 10^{12}, -2.987654123 \times 10^{9} thì kết quả của bài toán là -\infty

1.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. \lim \frac{\sqrt{n^2-n+1}}{3\sqrt{x}+2n-1}

Giới hạn của bài toán này tiến về vô cùng lớn trong khi đó số của chúng ta CALC vào 10^9 tuy rất lớn rồi nhưng nó vẫn chưa phải là vô cùng lớn vì vậy mà kết quả tìm được ta cần làm tròn.

Kết quả là \frac{1}{2}

Ví dụ 2. \lim \frac{4 \times 3^n+7^{n+2}}{2 \times 5^n+7^n}

Máy thông báo lỗi vì số quá lớn. Gặp trường hợp này ta cần giảm xuống là 10^8, 10^7,...,10. Đối với ví dụ này sẽ là 10^2

Kết quả là 49

Ví dụ 3. \lim \sqrt{4n^2+n-2}-3n

-999999999.8 là một số vô cùng bé nên kết quả của bài toán sẽ là -\infty

Ví dụ 4. \lim (2n+\cos(n))

Vì giá trị quá lớn nên máy thông báo lỗi. Tương tự như bài trên ta sẽ CALC một số khác nhỏ hơn chẳng hạn là 10^6

2000000.937 là một số vô cùng lớn nên kết quả của bài toán sẽ là +\infty

Đối với các giới hạn có chứa hàm lượng giác thì bạn cần cài đặt lại đơn vị góc là Radian

2 Giới hạn của hàm số

Quy trình bấm máy tìm giới hạn của hàm số tương tự như quy trình bấm máy tính giới hạn của dãy số nhưng phức tạp hơn.

Chủ yếu là do hàm số không chỉ tiến đến vô cùng lớn mà còn tiến tới một số, giới hạn một bên và vô cùng bé.

2.1 Quy trình bấm máy

Bước 1 nhập hàm số vào máy tính

Bước 2 gán giá trị cho biến thông qua phím CALC

Nếu giới hạn tiến đến x_0 thì CALCx_0+10^{-9} hoặc x_0-10^{-9} đều được vì đều cho ra cùng một giá trị

Nếu tiến đến x_0^+ thì là x_0+10^{-9}

Nếu tiến đến x_0^- thì là x_0-10^{-9}

Nếu tiến đến +\infty thì là 10^{9}

Nếu giới hạn của hàm số tiến đến -\infty thì CALC-10^{9}

Bước 3 tương tự như quy trình bấm máy tìm giới hạn của dãy số

2.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. \lim_{x \to -3} \frac{x+\sqrt{3-2x}}{x^2+3x}

-0.22222 là một số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 2 nên kết quả là -\frac{2}{9}

Ví dụ 2. \lim_{x \to 1^-} \sqrt{\frac{1-x^8}{3x^2+x}}

4.472135959 \times 10^{-5} là một số gần bằng 0 nên kết quả là 0

Ví dụ 3. \lim_{x \to 1^+} \frac{x+3}{|1-x|}

4000000001 là một số rất là lớn nên kết quả là +\infty

Ví dụ 4. \lim_{x \to +\infty } \sqrt{\frac{3x^4+4x^5+3}{9x^5+5x^4+1}}

0.6666666667 là một số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 6 nên kết quả của bài toán là \frac{2}{3}

Ví dụ 5. \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2-7x+12}}{3|x|-17}

Kết quả của bài toán là \frac{2}{3}

Về cơ bản mà nói thì thủ thuật này có thể tính được hầu hết các bài toán giới hạn trong chương trình Phổ thông.

Tuy nhiên đối với một số giới hạn mà kết quả của nó có chứa căn thức, \pi, e tức là một số vô tỷ thì việc suy ra kết quả của bài toán từ kết quả ban đầu là khá khó.

Đặc biệt là các bạn mới làm quen với thủ thuật này. Ta cần thêm một hai thủ thuật phụ phù hợp cho từng bài cụ thể thì mới có được đáp án chính xác.

Chúc các bạn học tốt.